La red de metro de Barcelona. Los mapas de las líneas del ferrocarril metropolitano son grafos que muestran la conectividad de las estaciones.  Fuente: TMB (Transports Metropolitans de Barcelona). Pulse en la imagen para agrandarla.

Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:

• Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.
  
  
• Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados.

De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos.

En un grafo simple entre dos nodos sólo hay un arco. Si hay más de un arco hablamos de un multigrafo. Si los arcos se pueden recorrer en una en una dirección concreta pero no en la contraria lo llamamos grafo dirigido o dígrafo y los arcos son entonces aristas, si los arcos salen y llegan al mismo punto formando un bucle el grafo resultante se llama pseudografo. 

A pesar de que un grafo parece una estructura muy elemental, hay muchísimas propiedades de los grafos cuyo estudio ha dado lugar a una completa teoría matemática. (Para más información véase por ejemplo el glosario de grafos de Chris Caldwell o la introducción en español de la wikipedia o la más extensa en inglés)

Fue Leonhard Euler quien ideó los grafos como una manera muy potente y elegante de resolver el problema de los puentes de Königsberg. 

Königsberg (hoy Kaliningrado en Rusia) era en tiempos de Euler (siglo XVIII) una ciudad prusiana cruzada por siete puentes. Durante la época se suscitó la cuestión no resuelta de si era posible recorrer toda la ciudad cruzando cada uno de los puentes una y sólo una vez. Si hacemos una representación esquemática de la ciudad vemos que los puentes unen cuatro porciones de tierra. La búsqueda por prueba y error no conduce a ningún resultado. 

El problema de los puentes de Königsberg.  Esta ciudad esta recorrida por el río Pregel que crea dos islas. ¿Se puede recorrer toda la ciudad pasando una sola vez por todos y cada uno de los 7 puentes que unen la parte insular de la ciudad con el resto? Fuente: gráfico por el autor.	La solución de Euler. El famoso matemático abstrajo los detalles de la forma de la ciudad y sus puentes para quedarse con la conectividad, dando lugar a una de los primeros grafos. El orden de todos los vértices es impar, lo que implica que es imposible recorrerlos pasando una sola vez por cada uno. Fuente: gráfico por el autor.

Euler realizó una abstracción del problema representando mediante puntos las cuatro porciones de terreno y dibujando un arco entre cada dos puntos por cada puente. Llamó orden de cada vértice al numero de arcos que se reunían en el y se percató que el orden de cada vértice visitado en un recorrido sin saltos ha de ser par (sale un enlace y entra otro) excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el recorrido, que han de tener orden impar. Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices han de ser de orden par.

En el problema de Königsberg el orden de todos los nodos es 3, esto es impar, por lo que quedó claro que no existía solución para el problema. No había un camino que recorriese todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos.

El interés de este ejemplo es que además de dar lugar a una teoría matemática muy potente los grafos se dibujan y resultan muy intuitivos, especialmente cuando los vértices son pocos. Ejemplos de grafos que todos conocemos son los organigramas que explicitan la estructura formal de la empresa, los árboles genealógicos o la circuitería de los chips electrónicos. Se usan regularmente para resolver problemas en la eficiencia del transporte, en sociología, electrónica y electricidad, detección de fraude y en general en aquellos campos en los que la conectividad es importante.

De hecho vivimos en una sociedad interconectada en la que, por definición, las redes (que son simplemente una forma de grafos dirigidos en los que cada arco tiene un valor) forman cada vez más parte de nuestra experiencia diaria. Internet es el arquetipo de la red y su conectividad nos perfunde a todos.

Como anécdota, al parecer la captura de Saddam Hussein se realizó en parte gracias a la labor de construcción del grafo de su red de soporte, basada en las relaciones funcionales de Saddam con miembros de su partido pero sobre todo de las relaciones tribales y familiares que le unen a su ciudad natal de Tikrit. Véase por ejemplo "Learning to break the rules" por Bruce Berkowitz o "How Army Sleuths Stalked the Adiviser who led to Hussein" por Eric Schmitt ambos para el New York Times (debo la información a Jim Wise)

No es fácil representar apropiadamente un grafo. De hecho no es fácil representar bien prácticamente cualquier cosa que tenga utilidad. Sin embargo el estudio de las grandes posibilidades que ofrece la representación automática de grafos ha dado lugar a una serie de reglas que vale la pena citar aquí. 

Según Kozo Sugiyama en su libro “Graph Drawing and Applications”* las reglas estáticas (que sirven para dibujar un solo grafo y no una sucesión de ellos de forma dinámica) se dividen en 

• Reglas básicas: se refieren a aspectos elementales como el solapamiento entre aristas vertices o ambos.

Reglas Básicas
KO	OK		KO	OK		KO	OK
No solapar vértices			No solapar aristas			No solapar vértices con aristas

• Reglas semánticas: son reglas de posicionamiento de vértices y de dibujo de arcos o aristas (enrutado) derivadas del significado de vértices y aristas. Por ejemplo dibujar el tamaño de un vértice o el grosor de una arista en función de su importancia. Suelen venir dadas por el usuario o son deducidas de la información de sus etiquetas asociadas.

Reglas Semánticas
Alinear vértices específicos			Disponer vértices específicos en curva			Dibujar vértices específicos con distinto tamaño
Emplazar vértices específicos en la frontera			Agrupar vértices específicos			Centrar vértices específicos

• Reglas estructurales: son reglas de posicionamiento y enrutado relacionadas sólo con las propiedades de la teoría de grafos. Por ejemplo colocar los vértices de mayor orden en el centro del dibujo o minimizar la longitud total de aristas, minimizar el numero de cruces entre vértices, etc.

Reglas estructurales
KO	OK		OK	KO                     OK		KO	OK
Centrar los vértices con orden alto			Colocar los grafos isomorfos  (igual forma) de idéntica manera.			Emplazar en forma jerárquica
KO	OK		KO	OK		KO	OK
Minimizar los cruces de aristas			Buscar equilibrio en las dimensiones del dibujo			Organizar simétricamente
KO	OK		KO	OK		KO	OK
Minimizar las esquinas en aristas			Dibujar caras como polígons convexos			Colocar los hijos simétricamente
KO	OK		KO	OK		KO	OK
Evitar cruces de ramas diferentes			Emplazamiento uniforme			Minimizar el área de dibujo
KO	OK		KO	OK		KO	OK
Minimizar la longitud total de aristas			Minimizar la diferencia de tamaño de los vértices			Minimizar la longitud media de las aristas
Todos los dibujos realizados por el autor, inspirados en los presentes en el libro de Sugiyama

Estas reglas persiguen la optimización del dibujo y pretenden facilitar la representación de la forma más sencilla y clara posible. Que ello no es fácil dan cuenta los avances que cada año se muestran en las conferencias sobre representación de grafos (la de este año  se hará en New York en Septiembre).

“Graph Drawing and Applications” by Kozo Sugiyama, World Scientific Series on Software Engineering and Knowledge Engineering Vol 11.  

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